In diesem Kapitel sollen die Probleme behandelt werden, die von Henri Poincaré ursprünglich als Kritik am Logizismus aufgeworfen wurden (vgl. erster Teil, Kapitel 3.1, S. 94ff.). Sie betreffen Hilbert nicht nur deshalb, weil seine grundsätzlichen Sympathien für den Logizismus durch das Scheitern der Ansätze Freges und Dedekinds nicht verschwanden. Hilbert hielt auch sachlich an einer starken Position der Logik fest und stellte sich in der heißen und bisweilen polemischen Debatte um die Vernünftigkeit des logizistischen Projekts in vielen Punkten ausdrücklich auf die Seite der Logizisten, aber nicht in allen. Dadurch, daß er 1904 mit seinem eigenen Ansatz einer Begründung der Mathematik mit syntaktischen Methoden ans Licht der Öffentlichkeit getreten war, veranlaßte er Poincaré zu kritischen Bemerkungen über seinen Ansatz.